Все про трикутники

Все про трикутники

Трикутник - це геометрична фігура, утворена замкнутою ламаною лінією, що складається з трьох відрізків. Точки в трикутнику називаються вершинами, відрізки називаються сторонами або гранями трикутника.

Поглянь на трикутник та скажи, скільки у трикутника кутів? Правильна відповідь - три. Тому його називають трикутником, так як у нього три кути.

Трикутник

Трикутник включає себе такі найпростіші фігури:

  • Три крапки (A, B, C);
  • Три відрізка (AB, BC, AC);
  • Три кута (α, β, γ);
  • Замкнута ламана лінія (ABC).

Вершини трикутника

Вершини кута позначають великими латинськими літерами. Трикутник позначається послідовністю вершин. На малюнку у нас трикутник ABC. Протилежна грань вершини називається підставою вершини трикутника. На малюнку сторона BC є підставою для вершини A, AC - підстава для вершини B та AB - підстава для вершини C.

Стороны трикутника

Сторони трикутника (або ще їх називають грані або ребра) позначаються малими латинськими буквами. На малюнку ми позначили сторони трикутника літерами a, b, c. Також сторони трикутника можна позначати у вигляді відрізків, наприклад a = AB, b = BC, c = AC.

Кути трикутника

Кути, як ми знаємо, позначають малими грецькими буквами. На малюнку кути трикутника позначені як α, β, γ, де α = BAC, β = ABC, γ = ACB. Кожен кут має протилежну сторону, наприклад кутку α відповідає протилежна сторона BC, розі β - AC та γ - AB.

Сума всіх кутів трикутника завжди дорівнює 180°

Класифікація трикутників по сторонам

Рівносторонній трикутник

Рівносторонній трикутник або правильний трикутник - це трикутник, у якого всі сторони рівні. У рівностороннього трикутника всі кути рівні 60°.

Рівносторонній трикутник

На малюнку ми позначили сторони як a, b, c, де a = b = c. Кути позначили як α, β, γ, де α = β = γ = 60°. Однакові сторони позначаються однаковою кількістю рисок. Ми позначили сторони a, b, c однією рисою. Однакові кути позначаються однаковою кількістю дуг. На малюнку ми всі кути позначили однією дугою.

Нерівносторонній трикутник

Нерівносторонні трикутник - це трикутник, у якого всі сторони не рівні. У нерівносторонні трикутника кути теж не рівні.

Нерівносторонній трикутник

На малюнку ми позначили сторони a, b, c, де a ≠ b ≠ c. Кути позначили як α, β, γ, де α ≠ β ≠ γ. Ми позначили сторони a, b, c різною кількістю рисок, вказавши що всі сторони мають різну довжину. Всі кути позначили різною кількістю дуг, вказавши, що всі кути мають різні кутові міри.

Рівнобедрений трикутник

Рівнобедрений трикутник - це трикутник, у якого дві сторони рівні. Ці сторони називаються боковими або стегнами, а третя сторона називається підставою.

Рівнобедрений трикутник

На малюнку ми позначили бокові сторони як a, c, де a = c, а підстава b, де b ≠ a та b ≠ c. У рівнобедреного трикутника кути біля основи рівні α = γ.

Класифікація трикутників по кутах

Гострокутний трикутник

Гострокутний трикутник

Гострокутний трикутник - це трикутник, у якого всі кути гострі, тобто від 0° до 90°, де 0° та 90° не входять в ці межі.

Тупокутний трикутник

Тупокутний трикутник

Тупокутний трикутник - це трикутник, у якого один кут тупий, тобто від 90° до 180°, де 90° та 180° не належать в ці межі.

Прямокутний трикутник

Прямокутний трикутник

Прямокутний трикутник - це трикутник, у якого один кут прямий, тобто дорівнює 90°.

Дві сторони утворюючі прямий кут називаються катетами, а сторона, протилежна прямому куті, називається гіпотенузою. На малюнку кут α = 90°, сторона a та b - катети, с - гіпотенуза.

У стародавні часи, щоб виміряти прямий кут, рівний 90 °, застосовували мотузку, яка поділялась на рівні 12 частин. Кінці мотузки зв'язували разом. Для того щоб отримати прямий кут, необхідно було взяти мотузку за ділення в пропорціях 3, 4 та 5. Виходив трикутник у якого один кут був прямим. Цей засіб широко використовувався в будівництві. Навіть є згадки цього методу в будівництві єгипетських пірамід. Може бути тому цей трикутник прийнято називати єгипетським трикутником.
єгипетський трикутник

Медіани трикутника

Медіана трикутника - це відрізок, що з'єднує вершину з серединою підстави вершини.

Тобто медіана розбиває підставу на рівних два відрізки. Поглянь на малюнок нижче. Ми намалювали трикутник з вершиною A та протилежною для цієї вершини стороною a. На відрізку a ми розташували точку D, яка розділяє підстави на два рівних відрізка BD = DC. Відрізок AB - це медіана для вершини A, a - це підстава медіани.

Медіани трикутника

Якщо намалювати медіани для всіх вершин трикутника, то ми побачимо крапку перетину всіх медіан - центроїд. Центроїд поділяє все медіани на два відрізки в пропорції ½ від підстави медіани.

Медіани трикутника

Висота трикутника

Висота трикутника - це відрізок, що з'єднує вершину з підставою вершини та утворює прямий кут (перпендикуляр) з підставою або її продовженням.

На малюнку ми намалювали різні види висоти в залежності від типу трикутника

Висота трикутника

Крапка перетину всіх висот називається ортоцентром. У тупоугольного трикутника ортоцентр лежить за межами трикутника. У прямокутного трикутника ортоцентр завжди збігається з вершиною прямого кута. У рівностороннього трикутника медіани та висоти збігаються, відповідно та ортоцентр з центроїдом теж збігаються.

ортоцентр трикутника

Для того щоб виміряти прямий кут, тобі знадобитися лінійка у вигляді трикутника. Зазвичай такі лінійки мають три кути 90°, 60°, 30°. Щоб провести перпендикуляр та намалювати висоту трикутника, зістав одну сторону лінійки з будь-якою стороною трикутника так, щоб друга сторона прямого кута лінійки проходила через висоту цієї підстави. Подивися на малюнок нижче, як ми шукаємо висоту за допомогою трикутної лінійки.

Висота трикутника

Бісектриса трикутника

Бісектриса або біссéктор трикутника - це відрізок, що з'єднує вершину кута трикутника з підставою вершини і ділить цей кут навпіл.

Бісектриса трикутника

Крапка, утворена перетином биссектрис називається інцентромом.

Для того щоб виміряти кут трикутника та розбити його навпіл, тобі знадобиться спеціальна лінійка - транспортир. У цієї лінійки є шкала, що показує кутову міру в градусах від центральної крапки лінійки.

транспортир

Зістав центральну крапку лінійки з вершиною так, щоб одна сторона трикутника збігалася з підставою лінійки. Знайди, на яку цифру, на шкалі лінійки, вказує друга сторона вершини, якщо її продовжити в довжину. Постав крапки у значення 0 та там, де ми виміряли. Познач ці крапки як A та B.

Проведи відрізок через ці крапки. Візуально або за допомогою лінійки знайди середину цього відрізка та познач її як крапку C. На лінії, що проходить з вершини до точки C, буде лежатиме наша бісектриса. Повторіть всі дії для кожної вершини трикутника.

Коло, вписане в трикутник

Коло, що торкається всіх трьох сторін трикутника, називається вписаним колом. Тільки одне коло може бути вписанє в будь-який трикутник.

Центром перетину биссектрис, як ми знаємо, є інцентром. Інцентром ще називають центром вписаного кола. Якщо від інцентрома до будь-якого підстави виміряти відстань по перпендикуляру, то ми отримаємо радіус вписаного кола.

Для того, щоб вписати коло в трикутник тобі, знадобиться циркуль. Постав циркуль в інцентром та встанови радіус що дорівнює відстані до будь-якої підстави по перпендикуляру. Круговим рухом намалюй коло.

Коло, вписане в трикутник

Описане коло трикутника

Коло, що проходить по всіх вершин трикутника, називається описаним колом. Будь який трикутник може бути описан єдиним колом.

Центр описаного кола - це крапка перетину перпендикулярів підстав, що проходять через середину підстави.

На малюнку добре видно, як з середини підстав ми провели перпендикуляри та знайшли крапку перетину. За допомогою штангенциркуля виставляємо радіус від центру до будь-якої вершини та круговим рухом малюємо описане коло.

У прямокутного трикутника центр описаного кола лежить на середині гіпотенузи.

Описане коло трикутника

Знайди на малюнку трикутник, який одночасно прямокутний та рівнобедрений.
Тест

  • #7

Чи подобається тобі цей урок?

Поділись з Друзями:

Основні Геометричні Фігури

Пов'язані тести для цього уроку

play_arrowПеревірь себе

Тест на визначення елемента в закономірності c геометричними фігурами

Прийшов час спробувати свої сили в знаходженні закономірностей на практиці. Для початку тобі буде дана послідовність геометричних фігур, які відрізняються за кольором, формою і розміром. Спробуй знайти...

Тест на визначення елемента в закономірності c геометричними фігурами

Рекомендовані ігри для цього уроку

play_arrow Математичний Піксель Пазл

Математичний Піксель Пазл

Математичний Піксель Пазл - це незвичайна гра. Правила дуже прості. Тобі дається малюнок, який складається з пікселів різного кольору. Через три секунди пікселі розлітаються в 3D просторі. Твое завдання повернути прост...

 Математичний Піксель Пазл
play_arrow Математична Ханойська Вежа

Математична Ханойська Вежа

Ханойська вежа - це гра-головоломка, яку придумав французький математик Едуард Люка в кінці 19 столітті. Француз надихнувся легендою про жерців в замку Хінді. Їм дали 3 стрижня, на одному з яких було 6...

 Математична Ханойська Вежа
keyboard_arrow_up