Чотирикутники

Чотирикутники

У попередньому уроці ми познайомилися з трикутниками. Дізналися, які трикутники бувають, чим друг від друга відрізняються та які загальні ознаки відповідають для всіх трикутників. У цьому уроці ми дізнаємося, що таке чотирикутник. Почнемо наш урок з визначення чотирикутника.

Чотирикутник - це чотирикутна геометрична фігура, утворена замкнутою ламаною лінією, що складається з чотирьох відрізків. Крапки в чотирикутнику називаються вершинами, відрізки називаються сторонами або гранями чотирикутника.

Чотирикутник

Чотирикутник включає себе такі найпростіші фігури

  • Чотири крапки (A, B, C, D);
  • Чотири відрізки (AB, BC, CD, DA);
  • Чотири кута (α, β, γ, θ);
  • Замкнута ламана лінія (ABCD).

Вершини чотирикутника

Вершини чотирикутника позначають великими латинськими літерами. Чотирикутник позначається послідовністю вершин. На малюнку у нас чотирикутник ABCD.

Сторони чотирикутника

Сторони чотирикутника (або ще їх називають межі або ребра) позначаються малими латинськими буквами. На малюнку ми позначили боку чотирикутника буквами a, b, c, d. Також сторони трикутника можна позначати у вигляді відрізків, наприклад a = AB, b = BC, c = CD, d = DA. Сторони, які відносяться до однієї вершині, називаються суміжними сторонами. На малюнку для вершини A ми маємо суміжні сторони DA та AB

Кути чотирикутника

Кути, як ми знаємо, позначають малими грецькими буквами. На малюнку кути чотирикутника позначені як α, β, γ, θ, де α = DAB, β = ABC, γ = BCD, θ = CDA. Кожен кут чотирикутника має протилежний кут, наприклад, на малюнку кут α має протилежний кут γ, а для β протилежні кут θ.

Діагоналі чотирикутника

Діагональ чотирикутника - це відрізок, що з'єднує протилежні вершини чотирикутника.

Всього у чотирикутника дві діагоналі. На малюнку відрізки AC та BD - це діагоналі чотирикутника ABCD.

Діагоналі чотирикутника

Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються під прямим кутом, то такий чотирикутник називається ортодіагональним.

Бісектриси чотирикутника

Бісектриса чотирикутника - це промінь, що розділяє кут вершини на два рівних кута.

Бісектриси чотирикутника

У лекції по трикутниках ми докладно описали, як можна знайти бісектрису для вершини за допомогою транспортира.

Середні лінії чотирикутника

Середня лінія чотирикутника - це відрізок, що з'єднує протилежні сторони через їх середини.

Середні лінії чотирикутника

Щоб намалювати середню лінію необхідно всі сторони чотирикутника розбити на два рівних відрізка та знайти середини. Середини протилежних сторін необхідно з'єднати відрізками, які й будуть середніми лініями чотирикутника.

Класифікація трикутників

Опуклі чотирикутники

Опуклий чотирикутник - це чотирикутник, у якого всі кути опуклі (від 0° до 180°, не включаючи ці значення). Сума всіх кутів опуклого чотирикутника завжди дорівнює 360°

Опуклі чотирикутники

Неопуклі або увігнуті чотирикутники

Увігнутій чотірікутнік - це чотірікутнік, у которого один кут увігнутій (від 180° до 360°, що не включаючі ці значення). Сума всех кутів увігнутого чотірікутніка всегда дорівнює 360°

Неопуклі або увігнуті чотирикутники

Самоперетинаючі чотирикутники

Самоперетинаючий чотирикутник - це чотирикутник, у якого протилежні сторони перетинаються.

Самоперетинаючі чотирикутники

Візуально самопересекающийся чотирикутник схожий на два трикутника у яких сторони лежатимуть на двох пересічних лініях, а крапка перетину це загальна вершина для трикутників.

Види трикутників та їх властивості

Паралелограм

Паралелограм - це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні й рівні. У паралелограма протилежні кути рівні.

Паралелограм

Прямокутник

Прямокутник - це паралелограм з рівними кутами. Прямокутник - це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні й рівні. Всі кути прямокутника рівні 90°.

Прямокутник

Ромб

Ромб - це паралелограм з рівними сторонами. Ромб - це ортодіагональний чотирикутник, у якого всі сторони рівні та протилежні сторони паралельні.

Ромб

Квадрат

Квадрат - це прямокутник з рівними сторонами. Квадрат - це опуклий чотирикутник, у якого всі сторони та кути рівні. Всі кути квадрата рівні 90°.

Квадрат

Трапеція

Трапеція - це чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні. Ці сторони називають підставою трапеції, інші сторони називають боками трапеції.

Трапеція

Трапеція, у якої боки рівні, називають рівнобічною трапецією. У рівнобічної трапеції кути у підстав рівні. На малюнку праворуч зображена рівнобічна трапеція.

Дельтоид

Дельтоид - це ортодіагональний чотирикутник, у якого суміжні сторони для протилежних кутів рівні.

Дельтоид

Антипаралелограм

Антипаралелограм (контрпаралелограм) - це самоперетинаючий чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні але не паралельні.

Антипаралелограм

Якщо провести опуклу геометричну фігури через вершини антипаралелограма, то у нас вийде рівнобічна трапеція.

Як вписати окружність в чотирикутник?

Окружність, що дотикается всіх чотирьох сторін чотирикутника, називається вписаною окружністю чотирикутника. У чотирикутник можна вписати коло тільки за однієї умови, що суми протилежних сторін рівні. Якщо умова рівності протилежних сторін не виконується, то в такий чотирикутник неможливо вписати коло.

Як вписати окружність в чотирикутник?

Центр вписаного кола чотирикутника - це точка перетину всіх медіан чотирикутника. Якщо від цієї точки до будь-якого підстави виміряти відстань по перпендикуляру, то ми отримаємо радіус вписаного кола.

Як описати чотирикутник окружністю?

Коло, що проходить по всіх вершинах чотирикутника, зветься описаної окружністю. Якщо сума протилежних кутів дорівнює 180°, то такий чотирикутник можна описати колом. У разі, якщо ця умова не виконується, то такий чотирикутник неможливо описати колом.

Як описати чотирикутник окружністю?

Центр описаного кола чотирикутника - це точка перетину перпендикулярів, що виходять з середини сторін.

Ми вже малювали описану окружність для трикутника. Алгоритм для опису кола для чотирикутника такий же. На малюнку добре видно, як з середини сторін ми провели перпендикуляри і знайшли точку перетину. За допомогою штангенциркуля виставляємо радіус від центру до будь-якої вершини і круговим рухом малюємо описану окружність чотирикутника.

Знайди ортодіагональние чотирикутники. Знайди ортодіагональние чотирикутники.

  • #1
  • #6
  • #9

Чи подобається тобі цей урок?

Поділись з Друзями:

Основні Геометричні Фігури

keyboard_arrow_up